java实现Fibonacci

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Fibonacci

题目描述

求斐波那契数列的第n项


解题思路

如果使用递归求解，会重复计算一些子问题。例如，计算 f(4) 需要计算 f(3) 和 f(2)，计算 f(3) 需要计算 f(2) 和 f(1)，可以看到 f(2) 被重复计算了。


递归是将一个问题划分成多个子问题求解，动态规划也是如此，但是动态规划会把子问题的解缓存起来，从而避免重复求解子问题。

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public int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    int[] fib = new int[n + 1];
    fib[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    return fib[n];
}

考虑到第 i 项只与第 i-1 和第 i-2 项有关，因此只需要存储前两项的值就能求解第 i 项，从而将空间复杂度由 O(N) 降低为 O(1)。

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public int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    int pre2 = 0, pre1 = 1;
    int fib = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fib = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = fib;
    }
    return fib;
}

由于待求解的 n 小于 40，因此可以将前 40 项的结果先进行计算，之后就能以 O(1) 时间复杂度得到第 n 项的值。

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public class Solution {

    private int[] fib = new int[40];

    public Solution() {
        fib[1] = 1;
        for (int i = 2; i < fib.length; i++)
            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    }

    public int Fibonacci(int n) {
        return fib[n];
    }
}

矩形覆盖

题目描述

我们可以用 2*1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n 个 2*1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2*n 的大矩形，总共有多少种方法？


解题思路

当 n 为 1 时，只有一种覆盖方法：


当 n 为 2 时，有两种覆盖方法：


要覆盖 2*n 的大矩形，可以先覆盖 2*1 的矩形，再覆盖 2*(n-1) 的矩形；或者先覆盖 2*2 的矩形，再覆盖 2*(n-2) 的矩形。而覆盖 2*(n-1) 和 2*(n-2) 的矩形可以看成子问题。该问题的递推公式如下：


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public int RectCover(int n) {
    if (n <= 2)
        return n;
    int pre2 = 1, pre1 = 2;
    int result = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        result = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = result;
    }
    return result;
}

跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。


解题思路

当 n = 1 时，只有一种跳法：


当 n = 2 时，有两种跳法：


跳 n 阶台阶，可以先跳 1 阶台阶，再跳 n-1 阶台阶；或者先跳 2 阶台阶，再跳 n-2 阶台阶。而 n-1 和 n-2 阶台阶的跳法可以看成子问题，该问题的递推公式为：


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public int JumpFloor(int n) {
    if (n <= 2)
        return n;
    int pre2 = 1, pre1 = 2;
    int result = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        result = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = result;
    }
    return result;
}

变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级… 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。


解题思路

动态规划

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public int JumpFloorII(int target) {
    int[] dp = new int[target];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 1; i < target; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i] += dp[j];
    return dp[target - 1];
}

数学推导

跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去…，那么

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f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去… ，那么

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f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)

综上可得

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f(n) - f(n-1) = f(n-1)

即

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f(n) = 2*f(n-1)

所以 f(n) 是一个等比数列

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public int JumpFloorII(int target) {
    return (int) Math.pow(2, target - 1);
}
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